Week4

Neural Networks

• 在model中，input是$x_1\cdots x_n$的features，output是hypothesis function的結果
• $x_0$ input node有時稱為bias unit，其值永遠為1
• 在neural network中，會使用跟classification一樣的logistic function
• $\frac{1}{1 + e^{-\theta^Tx}}$
• 有時稱之為sigmoid (logistic) activation function
• "theta" parameters有時也稱為"weights"
• 最簡單的表示方式如下：
• $\begin{bmatrix}x_0 \newline x_1 \newline x_2 \newline \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}\ \ \ \newline \end{bmatrix}\rightarrow h_\theta(x)$
• input nodes位於input layer (layer 1)，中間經過另一個node (layer 2)，最後產出hypothesis function位於output layer
• 在input跟output layer之間可能會有不只一層layer，稱其為hidden layers
• 我們把hidden layer的node稱為activation unit
$$\begin{align*}& a_i^{(j)} = \text{"activation" of unit $i$ in layer $j$} \newline& \Theta^{(j)} = \text{matrix of weights controlling function mapping from layer $j$ to layer $j+1$}\end{align*}$$
• 假設有一層hidden layer，會長的像下面這樣：
$\begin{bmatrix}x_0 \newline x_1 \newline x_2 \newline x_3\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}a_1^{(2)} \newline a_2^{(2)} \newline a_3^{(2)} \newline \end{bmatrix}\rightarrow h_\theta(x)$
• 每一個activation node的值如下：
$$\begin{align*} a_1^{(2)} = g(\Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}^{(1)}x_3) \newline a_2^{(2)} = g(\Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}^{(1)}x_3) \newline a_3^{(2)} = g(\Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3) \newline h_\Theta(x) = a_1^{(3)} = g(\Theta_{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \Theta_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \Theta_{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \Theta_{13}^{(2)}a_3^{(2)}) \newline \end{align*}$$
• 每一個layer有它自己的$\Theta^{(j)}$，則其dimension的定義如下：
• 假設layer j有$s_j$個unit，layer j+1有$s_{j+1}$個unit，則$\Theta^{(j)}$的dimension為$s_{j+1} \times (s_j + 1)$
• +1是因為多考慮bias node $x_0$跟$\Theta_0^{(j)}$
• output不須考慮bias node，只有input需要考慮
• 用vector的方式處理：
• 將activation node以vector表示：$a(j)=g(z(j))$
• 而$z^{(j)} = \Theta^{(j-1)}a^{(j-1)}$
• 若還要計算下一層，就在$a^{(j)}$中加入一個bias unit
• 就可以計算$z^{(j+1)} = \Theta^{(j)}a^{(j)}$

Examples and Intuitions I

• 一個簡單的例子是以neural network預測$x_1$ AND $x_2$的結果，function會是如下：
$$\begin{align*}\begin{bmatrix}x_0 \newline x_1 \newline x_2\end{bmatrix} \rightarrow\begin{bmatrix}g(z^{(2)})\end{bmatrix} \rightarrow h_\Theta(x)\end{align*}$$
• $x_0$是bias node，其值為1
• Theta matrix則會是：$\Theta^{(1)} =\begin{bmatrix}-30 & 20 & 20\end{bmatrix}$
• sigmoid function在z>4後趨近於1，z < 4後趨近於0

• 所以可以算出如下結果：
$$\begin{align*}& h_\Theta(x) = g(-30 + 20x_1 + 20x_2) \newline \newline & x_1 = 0 \ \ and \ \ x_2 = 0 \ \ then \ \ g(-30) \approx 0 \newline & x_1 = 0 \ \ and \ \ x_2 = 1 \ \ then \ \ g(-10) \approx 0 \newline & x_1 = 1 \ \ and \ \ x_2 = 0 \ \ then \ \ g(-10) \approx 0 \newline & x_1 = 1 \ \ and \ \ x_2 = 1 \ \ then \ \ g(10) \approx 1\end{align*}$$

Examples and Intuitions II

• 在上一節中，AND/OR/NOR都可以無須hidden layer就算出來
• 但XNOR就需要多一層hidden layer才能求出，中間透過AND/OR/NOR的轉換

Multiclass Classification

• 假設最後的結果不是只有2類，而是4類，那可用大小為4的vector來表示：

• $h_\Theta(x)$ 會是這四種可能的vector其中之一